不放回抽取：把條件機率逐步寫清

一圖掌握

不放回機率：先記住這四步

先用流程圖整理思路，再閱讀下方的例子、易錯位和自測。圖解是方法提示，不代替完整推導。

文字版流程・方便隨時重溫

1. 讀清楚抽取次數、是否放回，以及題目要求的事件。
2. 每次不放回抽取後，更新總數和各類物件的餘量。
3. 同一條先後路徑的機率相乘，不能一直沿用第一次的分母。
4. 把符合要求而互不重疊的路徑機率相加，檢查結果介乎零與一。

先把隨機方式及「不放回」寫清

袋中有 3 個紅球及 2 個藍球。每次隨機抽出一球，袋中每個剩餘球被抽中的機會相同，抽出後不放回，共抽兩次。球的顏色只用來分類；計算時仍要按個別球的數目計算機率。

第一次抽到紅球的機率是 3/5。若已知第一次是紅球，袋中便剩下 2 紅、2 藍，共 4 球，所以第二次再抽紅球的條件機率是 2/4，而不是 3/5。關鍵在於條件已改變，不是第二次抽取本身有某種固定公式。

例題一：兩次都是紅球

以 R₁ 表示第一次紅球，R₂ 表示第二次紅球。兩件事都發生的機率為 P(R₁ 且 R₂) = P(R₁) × P(R₂｜R₁)。

代入得到 (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10。第二項已經是「第一次抽到紅球後」的機率，所以相乘不需要假設兩次獨立。相反，若把第二項仍寫成 3/5，才是在沒有根據下當成了獨立抽取。

例題二：一紅一藍，為何要算兩條路？

「抽到一紅一藍」沒有指定先後，因此包括紅後藍、藍後紅兩種情況。兩條路不可能在同一次兩球抽取中同時發生，是互斥事件，可以直接相加。

1. 紅後藍：先抽紅的機率是 3/5；剩下 2 個藍球、共 4 球，所以機率為 (3/5) × (2/4) = 3/10。
2. 藍後紅：先抽藍的機率是 2/5；剩下 3 個紅球、共 4 球，所以機率為 (2/5) × (3/4) = 3/10。
3. 兩種顏色不同的總機率為 3/10 + 3/10 = 3/5。

這次兩條路剛好一樣大，但不要只因為有兩種次序便習慣乘二。先寫出每條路的條件和機率，尤其當題目在中途加入或移除物件時，對稱性未必仍然成立。

常見錯誤：互斥與獨立不是同一回事

互斥是「不能同時發生」，用來判斷事件聯集是否能直接加機率；獨立是「知道其中一件發生，不改變另一件的機率」。紅後藍與藍後紅這兩條完整路徑互斥，但第一次與第二次的顏色並不獨立。

也不要把「不放回」誤解成任何第二次機率都必定不同。若不告訴你第一次顏色，第二次是紅球的總機率仍為 (3/5)(2/4) + (2/5)(3/4) = 3/5；這是把所有可能的第一次結果合併後得到的，不是忽略第一次抽取。

自測：用另一個事件檢查總和

在相同設定下，兩球同色的機率是多少？它與異色機率相加應有甚麼結果？

展開答案與步驟

紅紅的機率為 3/10；藍藍的機率為 (2/5) × (1/4) = 1/10。同色機率為 3/10 + 1/10 = 2/5。與異色的 3/5 相加等於 1，因為兩球必定同色或異色，兩者互斥而且包括所有可能。

下一步練習

把題目改為「抽後放回」，重新計算兩紅及一紅一藍，並指出哪個分母改回 5。再練習一句條件會改變答案的題型，例如「已知第一球是紅球，求第二球是藍球」，先用文字確認已知條件才開始計算。