判別式：不用解方程也能判斷實根

一圖掌握

判別式：先記住這四步

先用流程圖整理思路，再閱讀下方的例子、易錯位和自測。圖解是方法提示，不代替完整推導。

文字版流程・方便隨時重溫

1. 確認已整理成 ax² + bx + c = 0，而且 a 不等於零。
2. 連同正負號抄下 a、b、c，再計算 Δ = b² − 4ac。
3. Δ 大於零有兩個相異實根；等於零有重根；小於零沒有實根。
4. 若題目含參數，按所需根的條件列不等式，並檢查二次項限制。

根號內的數，決定實根情況

對實數係數二次方程 ax² + bx + c = 0，必須先確認 a ≠ 0。定義判別式 Δ = b² − 4ac。求根公式是 x = (−b ± √Δ)/(2a)，因此不需要完成整個計算，也可以先判斷答案的形式。

• Δ > 0：√Δ 是正實數，加和減產生兩個相異實根。
• Δ = 0：加零和減零相同，只有一個相異實根，亦稱重根。
• Δ < 0：在實數範圍內不能取這個平方根，所以沒有實根。

「沒有實根」不應簡寫成「一定沒有任何解」而不說明數的範圍。這篇只討論實數；也不把判別式用於 a = 0 的式子，因為那時已不是二次方程。

原創例題：參數 k 怎樣改變根的數目？

考慮 x² − 6x + k = 0，k 為實數。這裡 a = 1、b = −6、c = k，所以 Δ = (−6)² − 4 × 1 × k = 36 − 4k。

1. 兩個相異實根：36 − 4k > 0，得到 k < 9。
2. 重根：36 − 4k = 0，得到 k = 9。
3. 沒有實根：36 − 4k < 0，得到 k > 9。

解不等式時，除以負數要把不等號方向倒轉。例如 −4k > −36 兩邊除以 −4，便是 k < 9。若不放心，可用 k = 0 檢查：x(x − 6) = 0 的確有兩個相異實根，與 k < 9 一致。

用完成平方，理解拋物線的位置

同一式子可寫成 y = (x − 3)² + k − 9。因為平方不小於零，頂點在 (3, k − 9)，拋物線向上開口。當 k < 9，頂點在 x 軸下方，曲線與 x 軸有兩個交點；當 k = 9，頂點剛好碰到 x 軸；當 k > 9，整條曲線在 x 軸上方。

根是令 y = 0 的 x 值，因此交點數與相異實根數一致。這個圖像解釋也讓「重根」變得具體：k = 9 時方程是 (x − 3)² = 0，根是 x = 3，而不是兩個不同的答案。

常見錯誤：看漏題目用的是哪個詞

「有實根」包括兩個相異實根及重根，條件是 Δ ≥ 0；「兩個相異實根」才是 Δ > 0。另一個常見混淆是把 Δ 當成根：例題的 Δ = 36 − 4k 只是判斷工具，並不是 x 的值。

如果 a 本身含參數，先把 a = 0 的情況分開處理。例如 (k − 1)x² + 2x + 3 = 0 在 k = 1 時變成一次方程，不能直接以二次方程的實根分類下結論。

自測：重根條件與根值

若 x² + 4x + k = 0 有重根，求 k，並寫出該根。

展開答案與步驟

Δ = 4² − 4k = 0，所以 k = 4。代回可得 (x + 2)² = 0，重根為 x = −2。k 是參數的值，x 才是方程的根，不要把兩者調換。

下一步練習

先各做一道「有實根」「相異實根」「重根」的參數題，寫條件後才代數運算。再選一道首項係數含參數的題目，練習先分開非二次情況；最後用完成平方或草圖核對結果是否合理。