二次方程：先判斷用因式分解還是公式

一圖掌握

二次方程：先記住這四步

先用流程圖整理思路，再閱讀下方的例子、易錯位和自測。圖解是方法提示，不代替完整推導。

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1. 先把方程整理成一邊為零，辨認二次項、一次項和常數。
2. 先檢查是否容易因式分解；否則選擇公式等合適方法。
3. 按所選方法求出全部符合條件的根，留意正負號。
4. 把根代回原式，並按題目的範圍及情境篩選答案。

第一步：整理成一邊等於零

二次方程的標準形式是 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。a、b、c 都包括正負號。先移項、合併同類項，再選方法，通常比一開始就套公式更容易看清結構。例如 x² + 6 = 5x 要先寫成 x² − 5x + 6 = 0；此時 b = −5，而不是 5。

我們可以使用「零積性質」：兩個數的積等於零，至少有一個因子等於零。這要求右邊真的是零；若 (x − 2)(x − 3) = 4，便不能直接說 x = 2 或 x = 3。

例題一：能分解，就把兩個可能逐一寫出

解 x² − 5x + 6 = 0。尋找兩個數，乘積是 6，和是 −5：它們是 −2 和 −3。

1. 分解： (x − 2)(x − 3) = 0。
2. 逐個因子設為零：x − 2 = 0 或 x − 3 = 0。
3. 所以 x = 2 或 x = 3。
4. 驗算：2² − 5 × 2 + 6 = 0；3² − 5 × 3 + 6 = 0，兩個值都符合原式。

留意這裡是「或」，不是「同時」。一個 x 不需要同時等於 2 和 3。若題目另設 x 為長度，才按該題的正值等限制篩選；不要把應用情境的限制，誤當成所有二次方程都不接受負根。

例題二：不易分解時，用求根公式

對 ax² + bx + c = 0，求根公式為 x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)。整個分子都要除以 2a；代入負數時加括號，可以減少符號錯誤。

以 x² − 2x − 1 = 0 為例，a = 1、b = −2、c = −1。根號內是 (−2)² − 4 × 1 × (−1) = 8。因此 x = (2 ± √8)/2 = 1 ± √2。這是兩個精確值：1 + √2 和 1 − √2。除非題目要求近似值，保留根式即可，無須太早四捨五入。

常見錯誤：做了一次除法，少了一個根

例如 x(x − 4) = 0，直接兩邊除以 x 會得到 x = 4，卻遺漏 x = 0。原因是除以 x 已假設 x ≠ 0。較穩妥的做法是使用零積性質，寫出 x = 0 或 x − 4 = 0。每當想約去含未知數的因子，先問自己：這個因子會不會等於零？

另一個陷阱是把 −b 看成「負數」。它其實是 b 的相反數；當 b = −2 時，−b = 2。驗算也應代回原方程，而不只檢查最後一行，這樣才能找出移項或展開時的錯誤。

自測：解完，再檢查兩個值

不用計算機，解 x² − 3x − 4 = 0，並驗算其中一個根。

展開答案與步驟

乘積為 −4、和為 −3 的兩數是 −4 和 1，所以 (x − 4)(x + 1) = 0，得到 x = 4 或 x = −1。代入 x = −1：(−1)² − 3(−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0。

下一步練習

先選一組二次方程，逐題只做「整理標準形式、選方法」，再開始運算。熟習後加入首項係數不是 1 的式子，並用判別式預先判斷實根數目。練習時記下自己是卡在分解、負號，還是代入，下一輪才有明確改善目標。