功與能量：把高度、速度和損耗連起來

一圖掌握

能量轉換：先記住這四步

先用流程圖整理思路，再閱讀下方的例子、易錯位和自測。圖解是方法提示，不代替完整推導。

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1. 界定系統及初、末狀態，選定重力勢能的參考高度。
2. 列出動能、勢能、外力做功，以及摩擦等造成的能量轉移。
3. 按能量守恆列式；有損耗時不可把機械能當作恆定。
4. 計算待求量，再檢查單位及能量是否合理。

三個常用量，先對好條件

質量為 m、速率為 v 的物體，其動能 K = ½mv²。接近地面、重力場可視為均勻時，高度改變 Δh 對應的重力勢能改變為 ΔU = mgΔh。勢能零點可自行選定，實際比較的是前後差值；公式中的高度是垂直高度，不是斜面長度。

一個大小及方向不變的力 F，若與位移 s 同方向，所做的功 W = Fs；方向夾角為 θ 時則是 W = Fs cos θ。功和能量的單位都是焦耳 J。合外力所做的總功等於動能變化，但不要把「某一個力做的功」直接當成「合力做的功」。

原創例題：粗糙斜面上的能量帳目

一個 2.0 kg 小方塊由靜止開始，沿固定的粗糙斜面向下滑，垂直下降 12 m，到末點時速率為 6.0 m/s。取 g = 10 m/s²。假設沒有轉動、外部推動或其他可觀的能量儲存，機械能的減少全部轉移為方塊及斜面的內能。

1. 重力勢能減少量：mgh = 2.0 × 10 × 12 = 240 J。
2. 初始動能為零；末動能為 ½ × 2.0 × 6.0² = 36 J。
3. 內能增加量 = 240 − 36 = 204 J。
4. 轉為內能的比例 = 204/240 = 0.85，即 85%。若把增加的動能定為有用輸出，有用能量比例則為 36/240 = 15%。

這是一組為教學設定的數值，不代表任何實際斜面的損耗率。能量沒有消失；減少的是方塊與地球系統的機械能，能量轉移到了我們在計算中另外列出的內能。

若忽略摩擦，如何直接求末速？

對同樣由靜止下降高度 h 的物體，若沒有非保守作用引起的機械能轉移，可寫 mgh = ½mv²，所以 v = √(2gh)。本例若改成無摩擦，v = √(2 × 10 × 12) = √240，約 15.5 m/s，比有損耗時的 6.0 m/s 大。

質量在這個特定模型中約掉了，並不表示任何運動的速度都與質量無關。若存在與質量或速度相關的阻力，或題目給的是固定外力做功，便要重新建立能量方程，不能直接搬用這個結果。

常見錯誤：效率的分子與分母倒轉

效率是有用輸出能量除以輸入能量；計算前必須先說清楚甚麼是「有用」。本例若關心方塊取得的動能，分子是 36 J，不是 204 J。85% 是轉移為內能的比例，不是動能輸出效率。

動能的 v 必須平方；速率增加一倍時，在質量不變下動能增加至四倍。另一方面，勢能的高度要量垂直差，不是滑過的路程。最後留意正負：重力做正功、阻力做負功，而把「能量損耗量」當作正數列帳時，應寫成輸入 = 有用輸出 + 轉移量。

自測：先算可用動能，再求速度

一個由靜止出發的物體下降 1.0 m，重力勢能減少量中有 80% 變成動能。取 g = 10 m/s²，忽略轉動，求末速。

展開答案與步驟

0.80mgh = ½mv²，質量約去後 v² = 2 × 0.80 × 10 × 1.0 = 16，所以末速 v = 4.0 m/s。這裡求的是速率，取非負平方根。

下一步練習

選一道由非零初速出發的題目，在等式左方補上初始動能；再做一道已知摩擦力及路程的題目，用摩擦做功求機械能轉移。每次先列能量帳目，再代數值，能避免只憑公式外形猜用法。